Bất đẳng thức 1

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng $$\sqrt{abc}+\sqrt{a^3+b^3+c^3+abc} \le \sqrt{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$ Chứng minh 
Do vai trò của ba số $a, b, c$ là như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử $b$ là số ở giữa trong ba số, khi đó ta có $$(b-a)(b-c) \le 0 \Rightarrow b^2+ac \le b(a+c)$$ Suy ra $$a^3+b^3+c^3+abc=a^3+c^3+b(b^2+ac) \le (a+c)(a^2+b^2+c^2-ac)$$ Như vậy ra quy về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn $$\sqrt{abc}+\sqrt{(a+c)(a^2+b^2+c^2-ac)} \le \sqrt{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$ Tuy nhiên bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, như vậy ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$

Dãy số 1

Cho dãy số $x_n$ xác định bởi $x_1=1,\ x_{n+1}=\dfrac{n}{x_n}+\dfrac{x_n}{n}.$ Chứng minh rằng $$\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{x_n^2}{n}=1,\quad \lim\limits_{n \to +\infty}(x_n^2-n)=\frac{1}{2}$$